Среда, 20.11.2019, 09:15
Приветствую Вас Гость | RSS

Мой сайт

Наш опрос
Оцените мой сайт
Всего ответов: 612
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0

Подготовка к олимпиадам

Уважаемые ребята! На этой странице предлагаю вам олимпиадные задачки с подробным решением, теоретический материал, а также задачи для самостоятельного решения (для самоконтроля ответы указываются).

5-6 класс
1. На столе стоит 2014 коробок, в некоторых из них есть конфеты, а остальные пустые. На первой коробке написано: " все коробки пустые", на второй: "По крайней мере 2013 коробок пустых", на третьей : "По крайней мере 2012 коробок пустые". И т.д. На 2014 : "По крайней мере одна коробка пустая". Известно, что надписи на пустых коробках ложны, а на коробках с конфетами истинные. Определите, сколько коробок с конфетами?
 
 
2. Сережа собирает игрушечные железные дороги. У него есть несколько наборов, в каждом из которых разное количество вагонов. Если все вагоны объединить в один состав, то в нем будет 112 вагонов,  если взять три самых маленьких набора, то в них будет 25 вагонов, а в трех самых больших 50 вагонов. Сколько наборов у Сережи? Сколько вагонов в самом большом наборе? 
 
3. У Незнайки и Пончика е сть одинаковые суммы денег, составленные из монет достоинством 1,3,5 и 7 фертингов. При этом у Незнайки 1-фертинговых монет столько же, сколько у Пончика 3-фертинговых ; 3-фертинговы хмонет столько же, сколько у Пончика 5-фертинговых,; 5-фертинговых монет столько же, сколько у Пончика 7-фертинговых ; 7-фертинговых монет столько же, сколько у Пончика 1-фертинговых. определите, сколько 7-фертинговых монет у Незнайки, если у каждого по 20 монет.
 
4.Пин-код  состоит из четырех цифр и может начинаться с нуля (например, 0921 ). Петя называет счастливыми такие пин-коды, у которых сумма крайних цифр равна сумме средних цифр, например 1357(1+7=3+5). В своем телефоне он использует только счастливые пин-коды. Петя говорит, что даже если он забудет одну цифру, но будет помнить ее позицию, он легко ее восстановит.А если забудет две цифры, но будет помнить их позиции, то ему придется перебрать небольшое количество пин-кодов.
а) Сколько требуется перебрать пин-кодов в худшем случае?
б) Сколько существует всего пин-кодов?
 
5. Имеется 10 отрезков длина каждого из которых выражается целым числом, не превосходяшем некоторого N. 
а) Пусть N=100.Приведите пример  набора из 10 отрезков, такого, что ни из каких трех нельзя сложить треугольник.
б) Найдите максимальное N, при котором можно гарантировать, что найдутся три отрезка, из которых можно сложить треугольник.
 
6. Можно ли найти 100 последовательных натуральных чисел, первое из которых делится на 3, второе - на 5, третье-на 7, ...100-на 201?
7-9 класс
 
7класс
1. На круговом маршруте работают два автобуса, которые курсируют с одинаковой скоростью и интервалом движения в 21 минуту. Каким будет интервал движения, если на этом маршруте будут работать три автобуса с той же скоростью?
Ответ: 14
 
2. У Кая есть ледяная пластинку в форме уголка(состоящая из трех квадратов).Снежная Королева потребовала от Кая разрезать ее на четыре равные части.Как ему это сделать?
Ответ:
 
3.В таблице 3х3 расставлены положительные числа таким образом, что произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 1. А произведение чисел в любом квадрате 2х2 равно 2.Какое число стоит в центральной клетке? Найдите все варианты и докажите, что других нет.
Решение: произведение чисел в любом квадрате 2, а в любых двух строчках или столбцах вместе 1, значит, произведение числа, стоящего в углу, и числа, стоящего в соседней с ним клетке равно 0,5 для любых двух таких клеток. Произведение чисел в первых двух строках равно 1, произведение чисел в первых двух клетках нижней строки 0,5, как было показано, произведение всех чисел таблицы равно 1. Значит оставшееся угловое число равно 1:(1*0,5)=2. Аналогичные рассуждения верны для всех угловых клеток. Далее рассмотрим верхнюю строку. В ней два числа равны 2, значит , оставшееся равно 0,25. Аналогичные рассуждения верны и для других "боковых" столбцов и строк. Рассмотрим теперь среднюю строку. В ней два числа 0,25, значит оставшееся среднее число равно 16.
 
4. Наташа и Инна купили по одинаковой коробки чая в пакетиках. Известно, что одного пакетика хватает на две или на три чашки чая. Наташе коробки хватило на 41 чашку чая, а Инне на 58 чашек. Сколько пакетиков было в коробке?
Решение: пусть в коробке было n пакетиков. Тогда число завариваний может колебаться от 2n до 3n. Отсюда 58 не больше  3n, а значит 19<n. Кроме того 41 не меньше 2n, т.е. n<21. Т.к. число пакетиков должно выражаться натуральным числом, которое меньше 21, но больше 19, то пакетиков в коробке ровно 20.
 
5.На прямой отмечено сто точек: зеленые, синие и красные.Известно, что между двумя любыми красными есть синяя, между двумя синими есть зеленая. Кроме того красных точек меньше, чем синих, а синих не меньше, чем зеленых.Сколько точек покрашено в синий?
Решение:  Пусть красных точек n. Тогда синих не меньше n-1(количество промежутков между соседними красными точками), а т. к. по условию красных точек не меньше, чем синих, то синих либо n,  либо n-1. Аналогично, если синих точек m, то зеленых либо m, либо m-1. Итак, возможно четыре случая.
    кр.     син.    зел.   всего
1.   n      n       n         3n
2.  n        n      n-1      3n-1
3.  n     n-1      n-1      3n-2
4.  n-1  n-1      n-1      3n-3    В каждом их таких случаев легко найти общее количество точек, которое по условию равно 100. Таким образом получаем четыре уравнения , только одно из которых имеет целое решение.
100=3n-2.Отсюда число красных точек равно 34, синих 33, зеленых 33.
 
9 класс
1.Одуванчик утром распускается, три дня цветет желтым, на четвертый день утром становится белым, а к вечеру пятого дня облетает. В понедельник днем на поляне было 20 желтых и 14 белых одуванчиков, а в среду – 15 желтых и 11 белых. Сколько белых одуванчиков будет на поляне в субботу?
Ответ: 6 одуванчиков
 
2.На классной доске написаны числа 1,2,...,2014 . Разрешается стереть любые два числа, записав вместо одного из них модуль их разность. Доказать, что многократным повторением такой операции нельзя добиться того, чтобы на доске остался один нуль.
Доказательство: Четность чисел a-b и a+b совпадают. поэтому четность суммы всех чисел на доска до и после операции сохраняется. Среди исходных чисел 1007 нечетных , поэтому их сумма и последнее оставшееся на доске число должно быть нечетными. Значит  0 получить так нельзя.
 
3.Внутри полукруга радиуса 12 расположены круг радиуса 6, и маленький полукруг, касающиеся друг друга попарно. Найти радиус маленького полукруга.
Ответ: 4
 
4. Дан треугольник ABC. На сторонах AB и BC взяты точки D и E соответственно таким образом, что угол ACB в два раза больше угла BED. Докажите, что AC + EC > AD.
Доказательство: Продолжим ДЕ до пересечения с продолжением стороны АС за вершину С в точке Р. Угол при вершине Е треугольника РСЕ равен половине его внешнего угла ЕСА, поэтому РСЕ равнобедренный и СЕ=СР и , АС+ЕС=АР. Сравним углы Р и Д треугольника ДАР :Д=180-А-Р и Р. Последнее равносильно сравнению углов 180 и А+2Р=А+С<180. Таким образом против большего угла А в треугольнике ДАР лежит большая сторона АР=АС+СЕ, а против меньшего угла Р-меньшая сторона АД. Откуда следует, что АС+ЕС>АД.
 
5. а) Разбить все натуральные числа от 1 до 12 включительно на шесть пар, суммы чисел в которых являются шестью различными простыми числами.
    б) Можно ли все натуральные числа от 1 до 22 включительно разбить на одиннадцать пар, суммы чисел в которых являются одиннадцатью различными простыми числами?

Ответ: а) например, 1 и 4, 2 и 5, 3 и 8, 6 и и 7, 9 и 10, 11 и 12. Б) нельзя.
Решение: Сумма всех чисел от 1 до 22 включительно равна 253. есть 13 простых чисел, представляющихся суммой двух из чисел от 1 до 22 это 3, 5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43 сумма этих чисел равна 729. Если бы требуемое разбиение на пары было возможно, то из них в суммах пар были бы использованы все, кроме двух , дающих в сумме 26. Следовательно среди сумм пар встречались бы 41 и 43. Но 43 представляется в ввиде суммы пары единственным образом: 43=21+22 и тогда 41 уже не может быть представлено как сумма чисел, не превосходящих 20.
 
10-11 класс
1. Найти все трехзначные натуральные числа А, квадрат которых оканчивается на А.
Решение: По условию А2-А=А(А-1) делится на 1000=23*53 .Ввиду взаимной простоты чисел А и А-1, одно из них делится на 23=8, а другое на 53=125.1) Если А делится на 125, то его делители: 125,250,375,500,625,750,875. А делители числа А-1 это 124,249,374,499,624,749,874 делятся на 8. Это возможно только при  А=625.6252=390625
2)Если А-1 делится на 125, то делители А: 126,251,376,501,626,751,876 делятся на 8, что возможно только при А=376. 3762=141376
 
2.Прямая пересекает график функции y = x2 в точках с абсциссами  x1 и x2 , а ось абсцисс – в точке с абсциссой  х3 . Докажите, что 1/х3=1/х2+1/х1.
Решение: Пусть уравнение прямой имеет вид у=kx+b, по условию к не равно 0, х1 и х2 корни квадратного уравнения х2-kх-b=0. По т. Виета х12=-b, x1+x2=k. Тогда 1/х1+1/х2= -k/b.  С другой стороны прямая у=кх+b пересекает ось абсцисс как раз в точке с абсциссой -k/b=x3.
 
3.Биссектриса разбивает треугольник на два треугольника, радиусы вписанных окружностей которых равны. Доказать, что исходный треугольник - равнобедренный.
Решение: Пусть биссектриса ВР угла В треугольника разбивает его на два треугольника, радиусы вписанных окружностей которых равны. Обозначим за к отношение стороны АВ к ВС . В силу свойства биссектрисы отношение площадей треугольников АВР и ВСР равно отношению отрезков АР и СР и равно к. Из равенства радиусов вписанных в эти треугольники окружностей вытекает, что и отношение периметров этих треугольников равно к. Так же к равны отношения двух пар из  сторон этих треугольников АВ и ВС, АР и РС, а третьи их стороны равны. Из того, что отношение периметров треугольников равно к, следует, что к=1 и АВ=ВС. 
 
4.В полукруге радиуса 18 см на одной из половинок диаметра построен полукруг радиуса 9 см, и вписан круг, касающийся большого полукруга изнутри, маленького полукруга снаружи и и второй половинки диаметра. Найти радиус этого круга.
Решение: Обозначим через О, О1 иО2 центры большего полукруга, малого полукруга и вписанной окружности соответственно.А через Р, Q, R точки касания вписанного круга с диаметром большего полукруга, с маленьким полукругом и большим полукругом соответственно. Тогда точки О1, Q, O2 лежат на одной прямой и точки О, О2, R лежат на одной прямой. Обозначим радиус вписанного круга за х. По т.П. из треугольника ОО2Р имеем ОР=√( 18-х)2=√(324-36х) . Из т.П. для треугольника О1О2Р имеем О1Р=√(9-х)22=√(81+18х). Отсюда О1Р=ОР+9=√(324-36х+9)=√(81+18х), сокращая на 3 получаем √(36-4х)+3=√(9+2х).Решаем и получаем х=8
 
5.Сколькими способами можно заполнить таблицу размера nхn клеток нулями и единицами так, чтобы в каждой строке и каждом столбце содержалось четное число единиц? Каждая клетка таблица должна содержать ноль либо единицу.
                             2    
Ответ : 2(n-1)
Вход на сайт
Поиск
Календарь
«  Ноябрь 2019  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
252627282930
Created with Padlet